गणित Previous Year Paper 2025

प्रश्न 1. दो संख्याओं का अनुपात 8 : 5 है। यदि छोटी संख्या 20 है, तो बड़ी संख्या होगी—

(A) 30

(B) 25

(C) 32

(D) 40

उत्तर: (C) 32

दिया है—

दो संख्याओं का अनुपात = 8 : 5

छोटी संख्या = 20

अनुपात में छोटी संख्या 5 भाग के बराबर है।

अतः—

5 भाग = 20

1 भाग = 20/5

= 4

बड़ी संख्या 8 भाग के बराबर है।

अतः बड़ी संख्या—

= 8 × 4

= 32

प्रश्न 2. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 864 वर्ग सेमी है। घन के कोर की लम्बाई होगी—

(A) 12 सेमी

(B) 16 सेमी

(C) 4 सेमी

(D) 8 सेमी

उत्तर: (A) 12 सेमी

दिया है—

घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 864 सेमी²

माना घन की कोर की लम्बाई = a सेमी

घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल—

= 6a²

अतः—

864 = 6a²

a² = 864/6

a² = 144

a = √144

a = 12 सेमी

प्रश्न 3. दीर्घ वृत्तखण्ड का कोण होगा—

(A) अधिक कोण

(B) समकोण

(C) ऋजुकोण

(D) न्यूनकोण

उत्तर: (D) न्यूनकोण

दीर्घ वृत्तखण्ड में स्थित बिन्दु पर जीवा द्वारा बना कोण लघु चाप को अवरोधित करता है।

लघु चाप का अंश माप 180° से कम होता है।

परिधीय कोण अपने द्वारा अवरोधित चाप के अंश माप का आधा होता है।

अतः दीर्घ वृत्तखण्ड में बना कोण 90° से कम होता है।

इसलिए दीर्घ वृत्तखण्ड का कोण न्यूनकोण होता है।

प्रश्न 4. 27^2/3 का मान होगा—

(A) 27

(B) 9

(C) 54

(D) 3

उत्तर: (B) 9

दिया है—

27^2/3

हम जानते हैं—

a^m/n = (ⁿ√a)^m

अतः—

27^2/3

= (∛27)²

= 3²

= 9

प्रश्न 5. (25a² - 4b²) का गुणनखण्ड होगा—

(A) (5a + 4b)(5a - 4b)

(B) (25a - 4b)(25a + 4b)

(C) (5a + 2b)(5a - 2b)

(D) (25a + b)(25a - b)

उत्तर: (C) (5a + 2b)(5a - 2b)

दिया गया व्यंजक—

25a² - 4b²

= (5a)² - (2b)²

हम जानते हैं—

x² - y² = (x + y)(x - y)

अतः—

= (5a + 2b)(5a - 2b)

प्रश्न 6. यदि log_a3^(x+2) = log_a81 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

हम जानते हैं—

81 = 3⁴

अतः—

log_a3^(x+2) = log_a3⁴

समान आधार वाले लघुगणकों के बराबर होने पर उनके arguments बराबर होते हैं।

अतः—

3^(x+2) = 3⁴

x + 2 = 4

x = 4 - 2

x = 2

अतः x = 2, जहाँ a > 0 तथा a ≠ 1।

प्रश्न 7. यदि A = {4, 6, 8, 10} तथा B = {1, 2, 4, 6}, तो A ∩ B तथा A ∪ B ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

A = {4, 6, 8, 10}

B = {1, 2, 4, 6}

A ∩ B में दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव लिए जाते हैं।

दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव = 4, 6

अतः—

A ∩ B = {4, 6}

A ∪ B में दोनों समुच्चयों के सभी भिन्न अवयव लिए जाते हैं।

अतः—

A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 8, 10}

प्रश्न 8. दिए गए चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। यदि ∠OBC = 30° हो, तो ∠BAC का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

OB तथा OC एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

अतः—

OB = OC

इसलिए ΔOBC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

दिया है—

∠OBC = 30°

समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

अतः—

∠OBC = ∠OCB = 30°

अब ΔOBC में तीनों कोणों का योग 180° होता है।

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°

∠BOC + 30° + 30° = 180°

∠BOC + 60° = 180°

∠BOC = 180° - 60°

∠BOC = 120°

∠BOC तथा ∠BAC एक ही चाप BC पर बने क्रमशः केन्द्रीय तथा परिधीय कोण हैं।

एक ही चाप पर बना केन्द्रीय कोण, परिधीय कोण का दोगुना होता है।

अतः—

∠BOC = 2∠BAC

∠BAC = 1/2 × ∠BOC

= 1/2 × 120°

= 60°

अतः ∠BAC = 60°।

प्रश्न 9. कितने समय में ₹500 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से मिश्रधन ₹575 हो जाएगा?

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹500

मिश्रधन (A) = ₹575

दर (R) = 5% वार्षिक

साधारण ब्याज—

SI = मिश्रधन - मूलधन

= 575 - 500

= ₹75

साधारण ब्याज का सूत्र—

SI = (P × R × T)/100

मान रखने पर—

75 = (500 × 5 × T)/100

75 × 100 = 2500T

7500 = 2500T

T = 7500/2500

T = 3 वर्ष

अतः आवश्यक समय 3 वर्ष है।

प्रश्न 10. यदि x + 1/x = 9 हो, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

x + 1/x = 9

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर—

(x + 1/x)² = 9²

हम जानते हैं—

(a + b)² = a² + 2ab + b²

अतः—

x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 81

x² + 2 + 1/x² = 81

x² + 1/x²

= 81 - 2

= 79

अतः x² + 1/x² = 79, जहाँ x ≠ 0।

प्रश्न 11. निम्नलिखित आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए— 12, 2, 4, 15, 20, 7, 24, 7, 8

उत्तर:

दिए गए आँकड़े—

12, 2, 4, 15, 20, 7, 24, 7, 8

आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर—

2, 4, 7, 7, 8, 12, 15, 20, 24

कुल पदों की संख्या—

n = 9

चूँकि पदों की संख्या विषम है, इसलिए माध्यिका का स्थान—

= (n + 1)/2

= (9 + 1)/2

= 10/2

= 5वाँ पद

5वाँ पद = 8

अतः माध्यिका = 8

प्रश्न 12. 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त के केन्द्र से 8 सेमी की दूरी पर स्थित बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए। रचना भी लिखिए।

उत्तर:

रचना के चरण—

1. O को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. केन्द्र O से 8 सेमी की दूरी पर एक बाह्य बिन्दु P लीजिए तथा OP को मिलाइए।
3. रेखाखण्ड OP का मध्यबिन्दु M ज्ञात कीजिए।
4. M को केन्द्र तथा MO (= MP) त्रिज्या लेकर एक सहायक वृत्त खींचिए।
5. यह सहायक वृत्त दिए गए वृत्त को T₁ तथा T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
6. P को T₁ तथा T₂ से मिलाइए।
7. PT₁ तथा PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

सहायक वृत्त में OP व्यास है। अतः—

∠OT₁P = 90°

तथा—

∠OT₂P = 90°

इसलिए—

OT₁ ⟂ PT₁

OT₂ ⟂ PT₂

वृत्त के किसी बिन्दु पर त्रिज्या के लम्बवत् रेखा उस वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।

अतः PT₁ तथा PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 13. एक दीवार को 12 मजदूर 10 दिन में बना सकते हैं। उसी दीवार को कितने मजदूर 6 दिन में बना लेंगे?

उत्तर:

12 मजदूर दीवार को 10 दिन में बनाते हैं।

माना 6 दिन में दीवार बनाने के लिए आवश्यक मजदूरों की संख्या = x

काम समान होने पर मजदूरों की संख्या और दिनों की संख्या व्युत्क्रमानुपाती होती है।

अतः—

मजदूर × दिन = नियत

12 × 10 = x × 6

120 = 6x

x = 120/6

x = 20

अतः दीवार को 6 दिन में बनाने के लिए 20 मजदूर आवश्यक होंगे।

प्रश्न 14. निम्नलिखित आँकड़ों का स.मा. (समान्तर माध्य) 16.9 है, तो x का मान बताइए।

उत्तर:

यहाँ—

Σf = 8 + 8 + 10 + 10 + x + 5

= 41 + x

तथा—

Σfx_i = 40 + 80 + 150 + 200 + 25x + 150

= 620 + 25x

समान्तर माध्य का सूत्र—

समान्तर माध्य = Σfx_i/Σf

दिया है—

समान्तर माध्य = 16.9

अतः—

16.9 = (620 + 25x)/(41 + x)

16.9(41 + x) = 620 + 25x

692.9 + 16.9x = 620 + 25x

692.9 - 620 = 25x - 16.9x

72.9 = 8.1x

8.1x = 72.9

x = 72.9/8.1

x = 9

अतः x = 9।

प्रश्न 15. एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 3.5 मीटर, 3.0 मीटर तथा 3 मीटर है। इसकी चारों दीवारों पर ₹15 प्रति वर्ग मीटर की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

लम्बाई (l) = 3.5 मीटर

चौड़ाई (b) = 3 मीटर

ऊँचाई (h) = 3 मीटर

चारों दीवारों का क्षेत्रफल—

= 2(l + b)h

= 2(3.5 + 3) × 3

= 2 × 6.5 × 3

= 13 × 3

= 39 वर्ग मीटर

सफेदी की दर = ₹15 प्रति वर्ग मीटर

कुल व्यय—

= क्षेत्रफल × दर

= 39 × 15

= 39 × (10 + 5)

= 390 + 195

= ₹585

अतः चारों दीवारों पर सफेदी कराने का कुल व्यय ₹585 होगा।

प्रश्न 16. निम्नलिखित को पूर्ण वर्ग बनाकर गुणनखण्ड कीजिए— x² + 18x + 77

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

x² + 18x + 77

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 9² = 81 जोड़ते और घटाते हैं—

= x² + 18x + 81 - 81 + 77

= x² + 18x + 81 - 4

= (x + 9)² - 2²

अब वर्गों के अन्तर के सूत्र से—

a² - b² = (a + b)(a - b)

अतः—

= (x + 9 + 2)(x + 9 - 2)

= (x + 11)(x + 7)

अतः गुणनखण्ड हैं—

(x + 11)(x + 7)

प्रश्न 17. एक किसान ने खेती करने के लिए 12 1/2% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से ₹1,60,000 बैंक से ऋण लिया। दो वर्ष बाद उसने पूरा ऋण एकमुश्त बैंक को जमा कर दिया। जमा की गई धनराशि की गणना कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹1,60,000

दर (R) = 12 1/2%

= 12.5%

समय (n) = 2 वर्ष

चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र—

A = P(1 + R/100)ⁿ

यहाँ—

R/100 = 12.5/100

= 1/8

अतः—

A = 160000(1 + 1/8)²

= 160000(9/8)²

= 160000 × 81/64

= 2500 × 81

= ₹2,02,500

अतः किसान ने दो वर्ष बाद बैंक में कुल ₹2,02,500 जमा किए।

प्रश्न 18. 15 प्रतिशत के ₹200 अंकित मूल्य के शेयर बाजार में ₹220 में बिक रहे हैं। ऐसे 50 शेयर कितने रुपये में मिलेंगे तथा खरीदार को कितने रुपये वार्षिक लाभांश मिलेगा?

उत्तर:

दिया है—

एक शेयर का अंकित मूल्य = ₹200

एक शेयर का बाजार मूल्य = ₹220

लाभांश की दर = 15% वार्षिक

शेयरों की संख्या = 50

50 शेयरों का क्रय मूल्य—

= शेयरों की संख्या × एक शेयर का बाजार मूल्य

= 50 × 220

= ₹11,000

अब एक शेयर पर वार्षिक लाभांश—

= अंकित मूल्य × लाभांश की दर/100

= 200 × 15/100

= 2 × 15

= ₹30

50 शेयरों पर कुल वार्षिक लाभांश—

= 50 × 30

= ₹1,500

अतः 50 शेयरों का क्रय मूल्य ₹11,000 तथा वार्षिक लाभांश ₹1,500 होगा।