गणित Previous Year Paper 2017

प्रश्न 1. x² + x + 1/4 का गुणनखण्ड है—

(A) (x - 1/2)

(B) (x + 1/2)

(C) (x + 1/2)²

(D) (x - 1/2)²

उत्तर: (C) (x + 1/2)²

दिया गया व्यंजक—

x² + x + 1/4

= x² + 2 × x × 1/2 + (1/2)²

हम जानते हैं—

a² + 2ab + b² = (a + b)²

अतः—

= (x + 1/2)²

प्रश्न 2. यदि 2, 3 और x का समान्तर माध्य 3 है, तो x का मान होगा—

(A) 4

(B) 5

(C) 8

(D) 1

उत्तर: (A) 4

समान्तर माध्य = आँकड़ों का योग / कुल आँकड़ों की संख्या

अतः—

3 = (2 + 3 + x)/3

3 × 3 = 5 + x

9 = 5 + x

x = 9 - 5

x = 4

प्रश्न 3. 2/(x - 1) + 3/(1 - x) का मान होगा—

(A) 5/(x + 1)

(B) (5/(x - 1))²

(C) 6/[(x - 1)(1 - x)]

(D) -1/(x - 1)

उत्तर: (D) -1/(x - 1)

दिया गया व्यंजक—

2/(x - 1) + 3/(1 - x)

क्योंकि—

1 - x = -(x - 1)

अतः—

= 2/(x - 1) - 3/(x - 1)

= (2 - 3)/(x - 1)

= -1/(x - 1)

अतः मान -1/(x - 1) है, जहाँ x ≠ 1।

प्रश्न 4. चार समानुपाती पदों में मध्य पदों का गुणनफल 36 है। यदि बाह्य पदों में एक पद 3 हो, तो दूसरा बाह्य पद होगा—

(A) 4

(B) 8

(C) 12

(D) 10

उत्तर: (C) 12

चार समानुपाती पदों में—

मध्य पदों का गुणनफल = बाह्य पदों का गुणनफल

मध्य पदों का गुणनफल = 36

एक बाह्य पद = 3

माना दूसरा बाह्य पद = x

अतः—

36 = 3 × x

x = 36/3

x = 12

प्रश्न 5. (3/4)² × (3/4)¹⁰ ÷ (3/4)⁸ का मान है—

(A) 3/4

(B) 81/256

(C) 27/64

(D) 9/16

उत्तर: (B) 81/256

दिया गया व्यंजक—

(3/4)² × (3/4)¹⁰ ÷ (3/4)⁸

समान आधार वाली घातों के नियम से—

= (3/4)^{2 + 10 - 8}

= (3/4)⁴

= 3⁴/4⁴

= 81/256

अतः मान 81/256 है।

प्रश्न 6. 8 मीटर लम्बी, 3.5 मीटर ऊँची एवं 20 सेमी मोटी दीवार का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

लम्बाई = 8 मीटर

ऊँचाई = 3.5 मीटर

मोटाई = 20 सेमी

= 20/100 मीटर

= 0.20 मीटर

दीवार घनाभ के आकार की है।

अतः दीवार का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई (मोटाई) × ऊँचाई

= 8 × 0.20 × 3.5

= 1.6 × 3.5

= 5.60 मीटर³

अतः दीवार का आयतन 5.60 मीटर³ है।

प्रश्न 7. यदि समुच्चय A = {8, 12, 15, 16} और B = {8, 15, 17, 20} है, तो A ∪ B तथा A ∩ B ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

A = {8, 12, 15, 16}

B = {8, 15, 17, 20}

A ∪ B में A तथा B के सभी अवयव बिना दोहराए लिए जाते हैं।

अतः—

A ∪ B = {8, 12, 15, 16, 17, 20}

A ∩ B में A तथा B के उभयनिष्ठ अवयव लिए जाते हैं।

A तथा B के उभयनिष्ठ अवयव = 8, 15

अतः—

A ∩ B = {8, 15}

प्रश्न 8. वाहक चेक किसे कहते हैं?

उत्तर: ऐसा चेक जिसका भुगतान उसे बैंक में प्रस्तुत करने वाले धारक को किया जा सकता है, वाहक चेक (Bearer Cheque) कहलाता है। इसे सामान्यतः सुपुर्दगी द्वारा हस्तान्तरित किया जा सकता है।

प्रश्न 9. log₆1296 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

हम जानते हैं—

1296 = 6 × 6 × 6 × 6

= 6⁴

अतः—

log₆1296

= log₆6⁴

= 4 log₆6

= 4 × 1

= 4

अतः log₆1296 का मान 4 है।

प्रश्न 10. कितने समय में ₹7500 पर 11% वार्षिक दर से साधारण ब्याज ₹4125 हो जाएगा?

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹7500

दर (R) = 11% वार्षिक

साधारण ब्याज (SI) = ₹4125

माना समय = T वर्ष

हम जानते हैं—

SI = (P × R × T)/100

मान रखने पर—

4125 = (7500 × 11 × T)/100

4125 × 100 = 7500 × 11 × T

T = (4125 × 100)/(7500 × 11)

= 412500/82500

= 5 वर्ष

अतः आवश्यक समय 5 वर्ष है।

प्रश्न 11. यदि किसी वृत्त में उसके किसी लघु चाप का अंश माप 70° है, तो उसके दीर्घ चाप का अंश माप कितना होगा?

उत्तर:

सम्पूर्ण वृत्त का अंश माप = 360°

लघु चाप का अंश माप = 70°

अतः दीर्घ चाप का अंश माप—

= सम्पूर्ण वृत्त का अंश माप - लघु चाप का अंश माप

= 360° - 70°

= 290°

अतः दीर्घ चाप का अंश माप 290° है।

प्रश्न 12. {(4 × 5)^-2 + (1/10)²} + 3/4 को सरल कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

{(4 × 5)^-2 + (1/10)²} + 3/4

= {20^-2 + 1/100} + 3/4

ऋणात्मक घात के नियम a^-n = 1/aⁿ से—

= {1/20² + 1/100} + 3/4

= {1/400 + 1/100} + 3/4

= {1/400 + 4/400} + 3/4

= 5/400 + 3/4

= 1/80 + 3/4

= 1/80 + 60/80

= 61/80

अतः दिए गए व्यंजक का मान 61/80 है।

प्रश्न 13. लकड़ी के घनाभ के आकार के एक टुकड़े की लम्बाई 75 सेमी, चौड़ाई 15 सेमी तथा ऊँचाई 5 सेमी है। इसमें से 15 सेमी लम्बे, 3 सेमी चौड़े तथा 1 सेमी ऊँचे कितने गुटके बनाए जा सकते हैं?

उत्तर:

बड़े घनाभ की लम्बाई = 75 सेमी

चौड़ाई = 15 सेमी

ऊँचाई = 5 सेमी

बड़े घनाभ का आयतन—

= लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

= 75 × 15 × 5

= 5625 सेमी³

एक छोटे गुटके की लम्बाई = 15 सेमी

चौड़ाई = 3 सेमी

ऊँचाई = 1 सेमी

एक छोटे गुटके का आयतन—

= 15 × 3 × 1

= 45 सेमी³

गुटकों की संख्या—

= बड़े घनाभ का आयतन / एक गुटके का आयतन

= 5625/45

= 125

अतः कुल 125 गुटके बनाए जा सकते हैं।

प्रश्न 14. 15x⁴ + 3x² - 18 का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया गया व्यंजक—

15x⁴ + 3x² - 18

सभी पदों में से 3 उभयनिष्ठ लेने पर—

= 3(5x⁴ + x² - 6)

मध्य पद को विभाजित करने पर—

= 3(5x⁴ + 6x² - 5x² - 6)

समूह बनाने पर—

= 3[x²(5x² + 6) - 1(5x² + 6)]

= 3(x² - 1)(5x² + 6)

क्योंकि—

x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

अतः—

= 3(x - 1)(x + 1)(5x² + 6)

अतः गुणनखण्ड 3(x - 1)(x + 1)(5x² + 6) हैं।

प्रश्न 15. ₹400 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है—

मूलधन (P) = ₹400

दर (r) = 5% वार्षिक

समय (n) = 2 वर्ष

चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र—

A = P(1 + r/100)ⁿ

मान रखने पर—

A = 400(1 + 5/100)²

= 400(105/100)²

= 400(21/20)²

= 400 × 441/400

= ₹441

अब चक्रवृद्धि ब्याज—

= मिश्रधन - मूलधन

= 441 - 400

= ₹41

अतः 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹41 है।

प्रश्न 16. 15x³ - 20x² + 13x - 12 में 3x - 6 से भाग देकर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

                    5x² + (10/3)x + 11
                 ______________________
3x - 6 ) 15x³ - 20x² + 13x - 12
          15x³ - 30x²
          --------------
                  10x² + 13x
                  10x² - 20x
                  ------------
                          33x - 12
                          33x - 66
                          --------
                                 54

अतः—

भागफल = 5x² + (10/3)x + 11

शेषफल = 54

जाँच के लिए—

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

अर्थात्—

15x³ - 20x² + 13x - 12

= (3x - 6)[5x² + (10/3)x + 11] + 54

प्रश्न 17. 2.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जिसका केन्द्र O है। इस वृत्त की दो त्रिज्याएँ OA तथा OB इस प्रकार खींचिए कि ∠AOB = 120°। बिन्दुओं A और B से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो एक-दूसरे को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करें। रचना भी लिखिए।

उत्तर:

रचना के चरण—

1. O को केन्द्र मानकर 2.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. केन्द्र O पर ∠AOB = 120° बनाते हुए OA तथा OB त्रिज्याएँ खींचिए।
3. बिन्दु A पर त्रिज्या OA के लम्बवत् एक रेखा खींचिए।
4. बिन्दु B पर त्रिज्या OB के लम्बवत् दूसरी रेखा खींचिए।
5. दोनों लम्ब रेखाएँ एक-दूसरे को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करेंगी।
6. अतः PA तथा PB वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।

अतः PA ⟂ OA तथा PB ⟂ OB। इसलिए PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 18. एक कक्षा के 40 शिक्षार्थियों के भार के आँकड़े निम्नवत् हैं। शिक्षार्थियों के भार का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

यहाँ—

Σf = 40

Σfx = 1700

समान्तर माध्य का सूत्र—

समान्तर माध्य = Σfx / Σf

= 1700/40

= 42.5

अतः शिक्षार्थियों के भार का समान्तर माध्य 42.5 किग्रा है।